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By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel. On y présente d'abord quatorze axiomes résumant toutes les propriétés des nombres réels que l'on prend pour acquises. À partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par l. a. concept de limite d'une suite ou d'une série numérique et son software à los angeles représentation décimale des nombres, en poursuivant avec los angeles inspiration de fonction proceed et l'étude de ses principales propriétés et en terminant par l. a. définition et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des fonctions convexes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il est, d'un element de vue purement logique, autonome mais, en fait, une familiarité avec le calcul différentiel est nécessaire pour le suivre aisément et bien en profiter.

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S’il existe N tel que uk ≤ vk pour tout k ≥ N , la convergence de la s´erie majorante +∞ ıne la convergence de la k=0 vk entraˆ +∞ s´erie major´ee k=0 uk . D´emonstration. Pour une s´erie +∞ a termes uk positifs, les sommes partielles Sn k=0 uk ` forment une suite croissante et il n’y a que deux possibilit´es : ces sommes restent born´ees et la s´erie est convergente, ce que l’on ´ecrit souvent +∞ uk < +∞ k=0 ou ces sommes ne sont pas born´ees et la s´erie est divergente, ce que l’on ´ecrit +∞ uk = +∞.

Si 0 < x < 1, la suite est strictement d´ecroissante et born´e inf´erieurement : 1 > x > x2 > x3 > · · · > 0 donc a = limn→+∞ xn existe et 1 > a ≥ 0. Puisque a = lim xn = x lim xn−1 = xa, n→+∞ n→+∞ il faut que a = 0. Si x > 1, la suite est strictement croissante et non born´ee sup´erieurement : xn = (1 + (x − 1))n ≥ 1 + n(x − 1) de telle sorte que limn→+∞ xn = +∞. Si x < 0, |x|n = (−x)n → 0 si x > −1 donc xn → 0 dans ce cas et |x|n → +∞ si x < −1 mais alors les termes de rang pair de la suite {xn }n∈N tendent vers +∞ et les termes de rang impair vers −∞ : la suite est proprement divergente.

Th´ eor` eme 23 (Cantor) Les nombres r´eels ne sont pas d´enombrables. D´emonstration. Supposons le contraire. On pourrait alors, en particulier, ´enum´erer les points de l’intervalle [0, 1] : [0, 1] = {x1 , x2 , x3 , . }. Soit xk = 0, dk,1 dk,2 dk,3 . . le d´eveloppement d´ecimal infini du k i`eme nombre. Formons alors un d´eveloppement d´ecimal infini non p´eriodique x = 0, δ1 δ2 δ3 . . avec δk = dk,k pour tout k ∈ N. On aura x ∈ [0, 1] et pourtant x = xk pour tout k ∈ N ! D. 3 Exercices Composez une solution rigoureuse de chaque exercice en utilisant exclusivement les r´esultats (th´eorie et exercices) qui le pr´ec`edent dans le cours.

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by John
4.1

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