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By Forster, O.

ISBN-10: 3834803952

ISBN-13: 9783834803955

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D) Die Folge (anbn )n∈N ist beschr¨ankt, aber nicht konvergent. 43 § 5 Das Vollst¨andigkeits-Axiom Mithilfe der bisher behandelten Axiome l¨asst sich nicht die Existenz von Irrationalzahlen beweisen, denn all diese Axiome gelten auch im K¨orper der rationalen Zahlen. Bekanntlich gibt es (was schon die alten Griechen wussten) keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist. Also l¨asst sich mit den bisherigen Axiomen nicht beweisen, dass eine Quadratwurzel aus 2 existiert. Es ist ein weiteres Axiom n¨otig, das sogenannte Vollst¨andigkeits-Axiom.

Satz 9 (Reziprokes einer Nullfolge). Sei (an )n∈N eine Nullfolge mit an > 0 f¨ur alle n (bzw. an < 0 f¨ur alle n). Dann divergiert die Folge (1/an )n∈N bestimmt gegen +∞ (bzw. gegen −∞). Beweis. Wir behandeln nur den Fall einer positiven Nullfolge. Sei K > 0 eine vorgegebene Schranke. Wegen lim an = 0 gibt es ein N ∈ N, so dass 1 |an | < ε := f¨ur alle n N . h. lim(1/an ) = ∞. 5) folgt. 1. Seien a und b reelle Zahlen. Die Folge (an )n∈N sei wie folgt rekursiv definiert: a0 := a, a1 := b, an := 12 (an−1 + an−2 ) f¨ur n 2.

6) −ax < −ay. 4). 9) F¨ur jedes Element x = 0 ist x2 > 0, insbesondere gilt 1 > 0. Beweis. 8). Da 0 = 1 = 12 , ergibt sich 1 > 0. 10) x>0 ⇐⇒ x−1 > 0 Beweis. 3). Die Umkehrung ‘⇐’ folgt aus ‘⇒’, angewendet auf x−1 , da (x−1 )−1 = x. 11) 0 y−1 § 3 Die Anordnungs-Axiome 23 Beweis. 10) auch (xy)−1 = x−1 y−1 > 0. d. Bemerkung. 3) gelten, heißt angeordneter K¨orper. R und Q sind angeordnete K¨orper. 2) steht. 9) widerspricht. Die naturlichen ¨ Zahlen als Teilmenge von R In jedem K¨orper gibt es die 0 und die 1.

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by Mark
4.3

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